Hình Tròn, công thức tính chu vi và diện tích hình tròn

Một trong những kiến thức toán học thường xuyên được sử dụng trong cuộc sống là chu vi hình tròn, diện tích hình tròn. Bởi vậy, hôm nay dientichhinhtron xin gửi tới bạn:

  • Lý thuyết về đường tròn
  • Những công thức hình tròn thường gặp
  • Bài tập kèm lời giải

Kiến thức được sắp xếp theo logic của cây mục lục dưới đây:

1. Đường tròn

1.1 Đường tròn là gì?

Trong hình học phẳng, đường tròn là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của hình tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.

Đường Tròn

1.2 Tính chất

Những tính chất quan trọng của hình tròn:

  • Nêu hai đường tròn bằng nhau thì chu vi chúng cũng bằng nhau.
  • Đoạn thẳng dài nhất trong một hình tròn là đường kính.
  • Bán kính các đường tròn bằng nhau sẽ bằng nhau.
  • Chu vi của hai đường tròn khác nhau tỷ lệ với bán kính tương ứng của chúng.
  • Góc ở tâm đường tròn bằng 3600.
  • Hai tiếp tuyến được vẽ trên một đường tròn từ một điểm bên ngoài có chiều dài bằng nhau.
  • Một tiếp tuyến của đường tròn nằm ở một góc vuông với bán kính tại điểm tiếp xúc.
  • Đường tròn là hình có tâm và trục đối xứng với nhau.

1.2 Cung là gì?

Nếu 2 điểm bất kỳ M, N nằm trên đường tròn ( không trùng nhau) và chia đường tròn làm 2 phần thì mỗi phần là một cung tròn. 2 điểm M, N gọi là hai đầu mút của cung.

Dây cung đường tròn

1.3 Dây cung là gì?

Đoạn thẳng nối 2 mút của cung được gọi là dây cung.

Ví dụ: MN là dây cung

Lưu ý: Nếu dây cung đi qua tâm O thì đoạn thẳng này gọi là đường kính.

2. Hình tròn

2.1 Hình tròn là gì?

Tập hợp tất cả các điểm nằm trên và trong đường tròn gọi là hình tròn.

Hình tròn là gì?

3. Chu vi hình tròn

Chu vi hình tròn

Công thức tính chu vi hình tròn: C = 2π.R hoặc C = π.D

Trong đó

  • C là chu vi của hình tròn
  • π = 3,1416…
  • R = OA là bán kính hình tròn
  • D = AB là đường kính hình tròn

4. Diện tích hình tròn

Diện tích hình tròn

Công thức tính diện tích hình tròn: $S = \pi .{R^2}$ hoặc $S = \pi .\frac{{{D^2}}}{4}$

Trong đó

  • S là diện tích của hình tròn
  • π = 3,1416…
  • R là bán kính của hình tròn
  • D là đường kính của hình tròn

5. Phương trình đường tròn

5.1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Giả sử một đường tròn có tâm là I( a; b) và đường kính R thì phương trình của đường tròn có dạng: ${(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}$ (*)

5.2. Nhận xét

Nếu như ta đặt \(c = {a^2} + {b^2} – {R^2}\) thì phương trình (*) sẽ được viết lại dạng: ${x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0$

Ngược lại: Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0\) được coi là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2}-c>0\). Khi đó, đường tròn này có:

  • Tâm I( a; b)
  • Bán kính: \(R = \sqrt{a^{2}+b^{2} – c}\)

5.3 Bài tập phương trình đường tròn

Bài tập 1: Cho đường cong (C): (m2 + 1)x2 + m(m + 3)y2 + 2m(m + 1)x – m – 1 = 0 (1). Tìm m để (C) là đường tròn

Lời giải

Điều kiện cần để (C) là đường tròn (m2 + 1) = m(m + 3) <=> m = 1/3

Khi m = 1/3 ta có (1) <=>x2 + y2 + $\frac{8}{9}$x – $\frac{4}{3}$ = 0 (*)

Ta thấy (*) là phương trình đường tròn khi $c = – \frac{6}{5} < 0$

Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I ( – 1; 2) và thỏa mãn

a) bán kình R = 7.

b) đi qua A(2; 5).

c) Tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x + y + 101 = 0

Lời giải

a) Đường tròn có tâm I ( – 1; 2) và bán kính 10

(x + 1)2 + (y – 2)2 = 102

b) Vì điểm A ∈ (C) nên: R = IA = $\sqrt {{{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {5 – 2} \right)}^2}} $ = 5. Phương trình đường tròn có dạng

(x + 1)2 + (y – 2)2 = 52

c) Vì đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên khoảng cách từ tâm của (C) tới Δ bằng bán kính:

$R = d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.\left( { – 1} \right) + 1.2 + 101} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + 1} }} = \sqrt {10} $

Khi này, phương trình đường tròn có dạng:

(x + 1)2 + (y – 2)2 = 102

Bài tập 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho M( 2; −1), viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ): x2 + y2 + 2x − 6y − 15 = 0 (1) tại điểm M.

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I(−1; 3), bán kính $R = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {3^2} + 15} = 5$.

Tiếp tuyến tại M là đường thẳng qua M và nhận $\overrightarrow n = \overrightarrow {IM} $ = (4; -4) = 4.(1; – 1) = $4.\overrightarrow {n’} $ làm vectơ pháp tuyến

1.(x − 2) − 1.(y + 1) = 0 ⇔ x − y − 3 = 0.

Bài tập 4: Cho họ đường tròn (Cm): x2 + y2 − (2m + 5)x + (4m − 1)y + 4 = 0. Tìm tất cả các giá trị của m để (Cm) tiếp xúc trục tung

Lời giải

Tâm và bán kính của (Cm) là: $I\left( {\frac{{2m + 5}}{2};\frac{{4m – 1}}{2}} \right),\,$ $R = \sqrt {\frac{{{{\left( {2m + 5} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {4m – 1} \right)}^2}}}{4} + 2m – 4} $

Khoảng cách từ I đến trục tung là $d = \left| {{x_I}} \right| = \frac{{\left| {2m + 5} \right|}}{2}$

(Cm) tiếp xúc với trục tung: $\frac{{{{\left( {2m + 5} \right)}^2}}}{4}$ $ = \frac{{{{\left( {2m + 5} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {4m – 1} \right)}^2}}}{4} + 2m – 4$ $ \Leftrightarrow 16{m^2} = 15$ $ \Leftrightarrow m = \pm \frac{{\sqrt {15} }}{4}$

Vậy giá trị m cần tìm $m = \pm \frac{{\sqrt {15} }}{4}$

Bài tập 5: Cho hai đường (C1): x2 + y2 − 2x = 0; (C2): x2 + y2 − 2y = 0. Viết phương trình đường tròn đồng thời đi qua điểm A(−1; 3) và giao điểm của hai đường tròn (C1), (C2).

Lời giải

Tâm và bán kính của (C1), (C2) lần lượt là I1(1; 0), R1 = 1, I2(0; 1), R2 = 1

Ta có I1I2 = $\sqrt 2 $ < 2 = R1 = R2 nên (C1) và (C2) cắt nhau

Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm phương trình

a(x2 + y2 − 2x) + b(x2 + y2 − 2y) = 0, (a2 + b2 > 0, a + b ≠ 0)

Thay tọa độ điểm A vào (1) ta được 3a = b ≠ 0

Chọn a = 1, b = 3 thay vào (1) ta được: ${x^2} + {y^2} – \frac{6}{5}x – \frac{2}{5}y = 0$

6. Cách vẽ hình tròn

Bạn có thể

  • vẽ hình tròn trong cad
  • vẽ hình tròn photoshop